Conversion
La conversion de base (ou le transcodage) est l'opération qui permet de passer de la représentation d'un nombre exprimé dans une base à la
représentation du même nombre mais exprimé dans une autre base.
Forme polynomiale
On peut décomposer tout nombre N en fonction de puissances entières de la base de son système de numération. On notera en indice la base du système de numération dans lequel le nombre N envisagé est écrit (10 dans l'exemple ci-dessous).
Considérons par exemple, le nombre décimal 1234, On aura :
.
On peut généraliser cette notion et écrire sous forme polynomiale tout nombre N de base quelconque. On aura :
Conversion d'un nombre de base quelconque en un nombre de base décimale
Pour convertir un nombre d'une base b en un nombre décimal, il suffit d'utiliser la représentation polynomiale du nombre et de l'évaluer, c'est-à-dire, il suffit d'effectuer le calcul suivant :
.
Par exemple :
Conversion d'un nombre de base décimale en un nombre de base quelconque
Pour convertir un nombre décimal en une base b nous effectuons des divisons entières successives du nombre à convertir par b, jusqu'à ce que le quotient obtenue soit égal à 0 ; et les restes sont les chiffres de la représentation en base b. Le reste de la première division est le chiffre de rang nul.
Exemples
Soit à convertir en binaire le nombre décimal 135
Soit à convertir en octal le nombre décimal 125
Soit à convertir en hexadécimal le nombre décimal 728
Conversion d'un nombre d'une base b1 vers une base b2
Pour convertir un nombre d'une base b1 vers une base b2, il suffit de passer par une base intermédiaire qui est la base décimale. Il existe une deuxième méthode qui permet de passer facilement entre les trois systèmes : binaire, octal et hexadécimal.
Pour convertir un nombre binaire en octal (resp. hexadécimal) on prend les chiffres 0 ou 1 par groupes de trois bits (resp. quatre bits) en partant de la droite vers la gauche, on peut toujours compléter le dernier groupe par des zéros ; puis on associe à chaque groupe son équivalent en octal (resp. hexadécimal). L'opération inverse est aussi vraie.
Les tableaux suivants indiquent cette conversion.


Exemples
Soit à convertir en octal le nombre binaire 101111100001
Soit à convertir en hexadécimal le nombre binaire 110100001100
Soit à convertir en binaire le nombre octal 4071
Soit à convertir en binaire le nombre hexadécimal 407
Soit à convertir en hexadécimal le nombre octal 72
Soit à convertir en octal le nombre hexadécimal 3E