Les nombres binaires fractionnaires
Définition
Un nombre binaire fractionnaire N se présente sous la forme :
où .
Règles de conversion
Pour convertir un nombre binaire fractionnaire en décimal on utilise la formule polynomiale :
.
La conversion d'un nombre fractionnaire décimal en binaire se fait en deux étapes. D'abord, la partie entière est converti du décimal en binaire en utilisant la méthode de la division successive. Ensuite, il faut convertir la partie fractionnaire du nombre en effectuent des multiplications successives par 2 et en conservant à chaque fois le chiffre devenant entier jusqu'à ce que le produit obtenu soit 1.00.
Exemples
Soit à convertir en binaire le nombre décimal 35,625 :
nous avons : . De plus,
0.625*2=1.25
0.25*2=0.5
0.5*2=1.0.
Alors, .
Soit à convertir en binaire le nombre décimal 81.7125 :
nous avons : . De plus,
0.7125*2=1.425
0.425*2=0.85
0.85*2=1.7
0.7*2=1.4
0.4*2=0.8
0.8*2=1.6
0.6*2=1.2
0.2*2=0.4
0.4*2=0.8...
Remarquons que les opérations de multiplication précédentes ne sont pas finies. Nous pouvons obtenir une suite périodique (ou une suite
illimitée non périodique) lors de la conversion en binaire d'un nombre décimal. Dans ce cas, on doit s'arrêter au bout d'un certain nombre d'opérations. Nous obtenons alors :
.
Remarque 1 : De la même manière, on peut faire la conversion d'un nombre fractionnaire décimal en une base quelconque . Il suffit de faire des divisions successives de la partie entière du nombre par et de faire des multiplications successives de la partie fractionnaire par , en conservant à chaque fois le chiffre devenant entier.
Remarque 2 : Comme nous avons expliqué avant, le système octal (resp. hexadécimal) permet de coder trois bits (resp. quatre bits) par un seul chiffre. Pour convertir un nombre fractionnaire binaire en octal (resp. hexadécimal), il faut juste grouper les bits par blocs de trois (resp. quatre) à partir de la virgule, en allant vers la gauche pour la partie entière et vers la droite pour la partie fractionnaire. Convertir ensuite ces blocs en octal (resp. hexadécimal) en se basant sur le tableau [1](resp. [2]). Par exemple :
.