Raisonnement par contraposée

Définition

Au lieu de démontrer que \(\left( p\Rightarrow q\right)\) est vraie, il est parfois plus commode de démontrer que sa contraposée \( \left( \overline{q}\Rightarrow \overline{p}\right)\) est vraie.

Exemple

Soit \(n\in \mathbb{N}\) un entier naturel. Montrer que \(\left[ \left(n^{2}pair\right) \Rightarrow \left( n\ pair\right) \right] .\)

Pour démontrer cela nous allons procéder par contraposée, donc au lieu de montrer que \(\left( n^{2}pair\right) \Rightarrow \left( n pair\right)\), nous allons montrer que \(\left( n\ impair\right) \Rightarrow\left( n^{2}\ impair\right)\), en effet

  • \(n\) impair \(\Rightarrow\) \(n=2k+1\) pour un certain \(k\in \mathbb{N}\)

  • \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow n^{2}=\left( 2k+1\right) ^{2}\)

  • \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow n^{2}=4k^{2}+4k+1\)

  • \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow n^{2}=2\left( 2k^{2}+2k\right) +1\)

  • \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow n^{2}=2k^{\prime }+1\)

  • \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow n^{2}\) impair