Proposition logique

Définition

On appelle proposition toute phrase, expression, assertion ou énoncé (mathématique) dont on sait affirmer si elle est vraie ou fausse.

On note en générale une proposition par : P, Q, R...

On associe à chaque proposition le chiffre 1 si elle est vraie, et le chiffre 0 si elle est fausse.

Logiques mathématiques

Exemple

  • « 2023 < 2022 » est une proposition car on peut dire qu'elle est fausse.

  • « L'Algérie est le plus grand pays d'Afrique » est une proposition car on peut dire qu'elle est vraie.

DéfinitionTable de vérité

Etant données plusieurs propositions, on résume toutes les possibilités dans un tableau qu'on appelle table de vérité.

Pour une proposition il y' a donc deux possibilités comme suit :

\(P\)

1

0

pour 2 propositions il y' a 4 possibilités, soit les deux sont vraies, soit la première est vraie et la seconde est fausse, soit la première est fausse et la seconde est vraie ou encore les deux sont fausses.

\(P\)

\(Q\)

1

1

1

0

0

1

0

0

Pour \(n\) propositions il y' a \(2^{n}\) possibilités.

DéfinitionNégation d'une proposition

Si P est une proposition, on note la négation de P par non P ou \(\overline{P}\), qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie. Voici la table de vérité qui résume ce qui dit

\(P\)

\(\overline{P}\)

1

0

0

1