Les quantificateurs logiques
Définition : Quantificateur existentiel
Le quantificateur existentiel noté \(\exists\) qui signifie "il existe au moins". Par exemple « il existe \(x\), \(x\) satisfait la propriété \(P(x)\) » s'écrira « \(\exists\) \(x\), \(P(x)\) ».
Définition : Quantificateur universel
le quantificateur universel est noté par \(\forall\), qui signifie « pour tout » ou « quel que soit ». Par exemple « pour tout \(x\), \(x\) satisfait la propriété \(P(x)\) » s'écrira « \(\forall x\), \(P(x)\) ».
Les deux quantificateurs sont liés par le fait que la négation de l'un donne l'autre,

Remarque :
L'ordre des quantificateurs est très important.
Par exemple, l'affirmation suivante signifie que tout nombre réel a un opposé : \(∀x∈\mathbb{R},∃y∈\mathbb{R} : x+y=0.\)
Cette affirmation est bien vraie dans \(\mathbb{R}\)[1] (il suffit que \(y=−x\), ces y diffèrent donc suivant \(x\)).
Par contre l'affirmation \( ∃ y∈\mathbb{R},∀x∈\mathbb{R} : x+y=0\) est fausse.
Elle signifie en effet qu'il existerait un nombre réel y qui serait un absorbant pour l'addition : ajouté à n'importe quel nombre réel \(x\), il donnerait toujours une somme égale à zéro.
Un tel nombre réel \(y\) n'existe pas.