Les quantificateurs logiques

DéfinitionQuantificateur existentiel

Le quantificateur existentiel noté \(\exists\) qui signifie "il existe au moins". Par exemple « il existe \(x\), \(x\) satisfait la propriété \(P(x)\) » s'écrira « \(\exists\) \(x\), \(P(x)\) ».

DéfinitionQuantificateur universel

le quantificateur universel est noté par \(\forall\), qui signifie « pour tout » ou « quel que soit ». Par exemple « pour tout \(x\), \(x\) satisfait la propriété \(P(x)\) » s'écrira « \(\forall x\), \(P(x)\) ».

Les deux quantificateurs sont liés par le fait que la négation de l'un donne l'autre,

Remarque

L'ordre des quantificateurs est très important.

Par exemple, l'affirmation suivante signifie que tout nombre réel a un opposé : \(∀x∈\mathbb{R},∃y∈\mathbb{R} : x+y=0.\)

Cette affirmation est bien vraie dans \(\mathbb{R}\)[1] (il suffit que \(y=−x\), ces y diffèrent donc suivant \(x\)).

Par contre l'affirmation \( ∃ y∈\mathbb{R},∀x∈\mathbb{R} : x+y=0\) est fausse.

Elle signifie en effet qu'il existerait un nombre réel y qui serait un absorbant pour l'addition : ajouté à n'importe quel nombre réel \(x\), il donnerait toujours une somme égale à zéro.

Un tel nombre réel \(y\) n'existe pas.