Raisonnement par l'absurde

Définition

Au lieu de montrer qu'une proposition est vraie, la démonstration par l'absurde consiste à démontrer que sa négation est fausse.

En particulier au lieu de montrer que \(\left( P\Rightarrow Q\right)\)  est vraie, nous allons montrer que \(\overline{\left( P\Rightarrow Q\right) }\) est fausse.

Exemple

Pour \(x\in \mathbb{R}\), par l'absurde montrer que \(\left[ \left( x\neq-2\right) \Rightarrow \left( \frac{x+1}{x+2}\neq 1\right) \right]\).

Par l'absurde on suppose que\( \left[ \left( x\neq -2\right) \ et\ \left(\frac{x+1}{x+2}=1\right) \right]\) , or

\(\begin{equation*} \begin{array}{rcl}\frac{x+1}{x+2} &=&1\Rightarrow x+1=x+2 \\&\Rightarrow &1=2\text{ ce qui est absurde.}\end{array}\end{equation*}\)