Connecteurs logique

DéfinitionConjonction "et"

On appelle conjonction de deux propositions P et Q, la proposition notée « \(P \wedge Q\) » qui est vraie, si \(P\) et \(Q\) sont vraies et fausse dans les autres cas.

\(P\)

\(Q\)

\(P\wedge Q\)

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Remarque

Deux propositions sont incompatibles si leur conjonction est fausse.

DéfinitionDisjonction "ou"

On appelle disjonction la proposition P ou Q et on la note « \(P \vee Q\) ». Elle est vraie si l'une des deux propositions est vraie.

\(P\)

\(Q\)

\(P\vee Q\)

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DéfinitionImplication

Soient P et Q deux propositions données, on définit la

proposition ( P implique Q) notée ( \(P\Rightarrow Q\)) par \(\left( \overline{p}\vee q\right)\).

L'implication est fausse dans le seul cas où P est vraie et Q est fausse.

\(P\)

\(Q\)

\(P \Rightarrow Q\)

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DéfinitionÉquivalence

Soient P et Q deux propositions données, on définit la proposition ( \(P\ \Leftrightarrow Q\)) dite aussi ( P est  équivalente à Q) par (\(\left( P\Rightarrow Q\right) \wedge \left( Q \Rightarrow P\right)\)).

En traçant la table de vérité on remarque que l'équivalence est vraie si et seulement si P et Q sont vraies en même temps ou fausses en même temps.

\(P\)

\(Q\)

\(P \Rightarrow Q\)

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Remarque

  • Deux propositions sont équivalentes si elles ont une même table de vérité.

  • Une tautologie est une proposition qui est toujours vraie.

  • Une contradiction est une proposition qui est toujours fausse.

FondamentalProposition :

Soient \(P,Q\) et \(R\) trois propositions données, nous avons alors les propriétés suivantes

  1. \(\overline{\overline{P}}\Leftrightarrow P\).

  2. \(( P\ \wedge \ P)\ \Leftrightarrow P\).

  3. \(( P\ \vee \ P)\ \Leftrightarrow P\).

  4. \(( P\ \wedge\ Q)\ \Leftrightarrow \ ( Q\ \wedge \ P)\) commutativité du connecteur \(\wedge\).

  5. \(( P\ \vee\ Q)\ \Leftrightarrow \ ( Q\ \vee \ P)\) commutativité du connecteur \(\vee\).

  6. \(\left[ (P\wedge Q)\wedge R\right] \Leftrightarrow \left[ P\wedge \left( Q\wedge R\right) \right]\) associativité du connecteur \(\wedge\).

  7. \(\left[ (P\vee Q)\vee R\right] \Leftrightarrow \left[ P\vee \left( Q\vee R\right) \right]\) associativité du connecteur \(\vee\).

  8. \(\overline{(P\wedge Q)}\Leftrightarrow \left( \overline{P}\vee \overline{Q}\right)\)  loi de Morgan.

  9. \(\overline{(P\vee Q)}\Leftrightarrow \left( \overline{P}\wedge \overline{Q}\right)\)  loi de Morgan.

  10. \(\left( p\Rightarrow q\right) \Leftrightarrow \left( \overline{q} \Rightarrow \overline{p}\right)\).

Pour démontrer ces propriétés, il suffit de tracer une table de vérité, à titre d'exemple nous allons démontrer la première loi de Morgan

\(P\)

\(Q\)

\(\overline{P} \)

\(\overline{Q}\)

\(P\wedge Q \)

\( \overline{(P\wedge Q)}\)

\( \left( \overline{P}\vee \overline{Q}\right)\)

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