Quelques notions de la théorie des ensembles

DéfinitionEnsemble

Un ensemble est une collection d'objets, où chaque objet est appelé élément. Il y a principalement deux façons de définir un ensemble :

  • En extension si on donne la liste de ses éléments.

  • En compréhension si on ne donne pas la liste de ses éléments mais juste leur propriété(s).

Exemple

\(\begin{eqnarray*}E &=&\left\{ x\in \mathbb{N};x\text{ divise 8}\right\} \ \text{  ensemble défini en compréhension} \end{eqnarray*}.\)

\(\begin{eqnarray*}E &=&\left\{ 1,2,4,8\right\}\ \text{ensemble défini en extension}\end{eqnarray*}.\)

DéfinitionEnsemble vide

L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément, on le note \(\varnothing\) .

DéfinitionInclusion et égalité

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles donnés,

  • on dira que \(A\) est inclus dans \(B\), ou que \(A\) est une partie de \(B\) ou encore que \(A\) est un sous ensemble de \(B\), si et seulement si tout élément de \(A\) est aussi un élément \(B\). On note dans ce cas \(A \subset B\).

  • On dira que \(A\) est égale à \(B\), si on a la double inclusion \(A\subset B\) et \( B\subset A\).

Alors, \(\begin{equation*}\left( A=B\right) \Leftrightarrow \left( A\subset B\text{ et }B\subset A\right)\end{equation*}\)

DéfinitionEnsemble des parties d'un ensemble

Soit \(E\) un ensemble donné on note \(\mathcal{P}\left( E\right)\) , l'ensemble des parties de \(E\).

\(\begin{equation*}\mathcal{P}\left( E\right) =\left\{ A,\ A\subset E\right\}\end{equation*}\)

Exemple

\(\begin{eqnarray*}E &=&\left\{ 1.2\right\} \\\mathcal{P}\left( E\right) &=&\left\{ \varnothing ,\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\} ,\left\{ 1.2\right\} \right\}\end{eqnarray*}\)

DéfinitionCardinal d'un ensemble

On appelle cardinal d'un ensemble, le nombre de ses éléments, et on le note \(card\).[1]

Par exemple, si \(E=\left\{ a,b,c\right\}\) alors \(card(E)=3\).

DéfinitionComplémentaire d'un ensemble

Soit \(E\) un ensemble donné, et soit \(A\subset E\), le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est l'ensemble noté\( {\largeC}_{E} A\) défini par \(\begin{equation*}{\large C}_{E} A=\left\{ x\in E;~x\notin A\right\}\end{equation*}\).

Si l'ensemble \(A\) est défini par \(\begin{equation*}A=\left\{ x\in E;~p(x)\right\}\end{equation*}\), alors \(\begin{equation*}{\large C}_{E}A=\left\{ x\in E;~\overline{p(x)}\right\}\end{equation*}\)

On a les propriétés suivantes :

  • \({\large C}_{E} \left( {\large C}_{E}A\right) =A\).

  • \({\large C}_{E}E=\varnothing\).

  • \({\large C}_{E}\varnothing =E\).

DéfinitionUnion d'ensemble

Soit \(E\) un ensemble donné, et soient \(A\) et \(B\) deux ensembles vérifiant \(A\subset E\) et \(B\subset E\) tels que \(A=\left\{ x\in E;~p(x)\right\} \) et \(B=\left\{ x\in E;~q(x)\right\}\).

L'union ou réunion de \(A\) et \(B\) est l'ensemble noté \(A\cup B\) défini par \(\begin{eqnarray*}A\cup B &=&\left\{ x\in E;~p(x)\vee q(x)\right\} \\&=&\left\{ x\in E;~x\in A\text{ ou }x\in B\right\}\end{eqnarray*}\).

DéfinitionL'intersection d'ensemble

Soit \(E\) un ensemble donné, et soient \(A\) et \(B\) deux ensembles vérifiant \(A\subset E\) et \(B\subset E\) tels que \(A=\left\{ x\in E;~p(x)\right\} \) et \(B=\left\{ x\in E;~q(x)\right\}\).

L'intersection de \(A\) et \(B\), est l'ensemble noté \(A\cap B\) défini par

\(\begin{eqnarray*}A\cap B &=&\left\{ x\in E;~p(x)\wedge q(x)\right\} \\&=&\left\{ x\in E;~x\in A\text{ et }x\in B\right\}\end{eqnarray*}\)

On observera que

\(\begin{equation*}A\subset A\cup B\text{, et }B\subset A\cup B\end{equation*}\)

et que

\(\begin{equation*}A\cap B\subset A,\text{ et }A\cap B\subset B\end{equation*}\)

ComplémentPropriétés :

Soient \(A,B\) et \(C\) trois sous ensembles d'un ensemble \(E\) Les propriétés suivantes se déduisent de celles introduites dans la section des connecteurs logiques :

  1. \(A\cap A=A\).

  2. \(A\cap B=B\cap A\) commutativité de l'intersection.

  3. \(A\cup B=B\cup A\) commutativité de l'union.

  4. \(\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)\) associativité de l'intersection.

  5. \(\left( A\cup B\right) \cup C=A\cup \left( B\cup C\right)\) associativité de l'union.

  6. \(\large C}_{E}\left( A\cap B\right) ={\LARGE C}_{E}A\cup {\LARGE C}_{E}B.\)

  7. \({\large C}_{E}\left( A\cup B\right) ={\LARGE C}_{E}A\cap {\LARGE C}_{E}B\)

  8. \({\large C}_{E}A\cap A=\varnothing\)

  9. \({\large C}_{E}A\cup A=E\).

DéfinitionDifférence et différence symétrique

Soient \(A\) et \(B\)deux sous ensembles d'un ensemble \(E\),

  1. on note \(A\smallsetminus B\) la différence de \(A\) et \(B\), comme étant l'ensemble des éléments de \(A\) n'appartenant pas à \(B\).

    \(\begin{eqnarray*}A\smallsetminus B &=&\left\{ x\in E;~x\in A\text{ et }x\notin B\right\} \\&=&A\cap {\LARGE C}_{E}B\end{eqnarray*}\).

  2. La différence symétrique de \(A\) et \(B\) est l'ensemble noté \(A\triangle B\) défini par

    \(\begin{eqnarray*}A\triangle B &=&\left( A \smallsetminus B\right) \cup \left( B\smallsetminus A\right) \\&=&\left( A\cup B\right) \smallsetminus \left( A\cap B\right)\end{eqnarray*}\)