Quelques notions de la théorie des ensembles
Définition : Ensemble
Un ensemble est une collection d'objets, où chaque objet est appelé élément. Il y a principalement deux façons de définir un ensemble :
En extension si on donne la liste de ses éléments.
En compréhension si on ne donne pas la liste de ses éléments mais juste leur propriété(s).
Exemple :
\(\begin{eqnarray*}E &=&\left\{ x\in \mathbb{N};x\text{ divise 8}\right\} \ \text{ ensemble défini en compréhension} \end{eqnarray*}.\)
\(\begin{eqnarray*}E &=&\left\{ 1,2,4,8\right\}\ \text{ensemble défini en extension}\end{eqnarray*}.\)
Définition : Ensemble vide
L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément, on le note \(\varnothing\) .
Définition : Inclusion et égalité
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles donnés,
on dira que \(A\) est inclus dans \(B\), ou que \(A\) est une partie de \(B\) ou encore que \(A\) est un sous ensemble de \(B\), si et seulement si tout élément de \(A\) est aussi un élément \(B\). On note dans ce cas \(A \subset B\).
On dira que \(A\) est égale à \(B\), si on a la double inclusion \(A\subset B\) et \( B\subset A\).
Alors, \(\begin{equation*}\left( A=B\right) \Leftrightarrow \left( A\subset B\text{ et }B\subset A\right)\end{equation*}\)
Définition : Ensemble des parties d'un ensemble
Soit \(E\) un ensemble donné on note \(\mathcal{P}\left( E\right)\) , l'ensemble des parties de \(E\).
\(\begin{equation*}\mathcal{P}\left( E\right) =\left\{ A,\ A\subset E\right\}\end{equation*}\)
Exemple :
\(\begin{eqnarray*}E &=&\left\{ 1.2\right\} \\\mathcal{P}\left( E\right) &=&\left\{ \varnothing ,\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\} ,\left\{ 1.2\right\} \right\}\end{eqnarray*}\)
Définition : Cardinal d'un ensemble
On appelle cardinal d'un ensemble, le nombre de ses éléments, et on le note \(card\).[1]
Par exemple, si \(E=\left\{ a,b,c\right\}\) alors \(card(E)=3\).
Définition : Complémentaire d'un ensemble
Soit \(E\) un ensemble donné, et soit \(A\subset E\), le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est l'ensemble noté\( {\largeC}_{E} A\) défini par \(\begin{equation*}{\large C}_{E} A=\left\{ x\in E;~x\notin A\right\}\end{equation*}\).
Si l'ensemble \(A\) est défini par \(\begin{equation*}A=\left\{ x\in E;~p(x)\right\}\end{equation*}\), alors \(\begin{equation*}{\large C}_{E}A=\left\{ x\in E;~\overline{p(x)}\right\}\end{equation*}\)
On a les propriétés suivantes :
\({\large C}_{E} \left( {\large C}_{E}A\right) =A\).
\({\large C}_{E}E=\varnothing\).
\({\large C}_{E}\varnothing =E\).
Définition : Union d'ensemble
Soit \(E\) un ensemble donné, et soient \(A\) et \(B\) deux ensembles vérifiant \(A\subset E\) et \(B\subset E\) tels que \(A=\left\{ x\in E;~p(x)\right\} \) et \(B=\left\{ x\in E;~q(x)\right\}\).
L'union ou réunion de \(A\) et \(B\) est l'ensemble noté \(A\cup B\) défini par \(\begin{eqnarray*}A\cup B &=&\left\{ x\in E;~p(x)\vee q(x)\right\} \\&=&\left\{ x\in E;~x\in A\text{ ou }x\in B\right\}\end{eqnarray*}\).
Définition : L'intersection d'ensemble
Soit \(E\) un ensemble donné, et soient \(A\) et \(B\) deux ensembles vérifiant \(A\subset E\) et \(B\subset E\) tels que \(A=\left\{ x\in E;~p(x)\right\} \) et \(B=\left\{ x\in E;~q(x)\right\}\).
L'intersection de \(A\) et \(B\), est l'ensemble noté \(A\cap B\) défini par
\(\begin{eqnarray*}A\cap B &=&\left\{ x\in E;~p(x)\wedge q(x)\right\} \\&=&\left\{ x\in E;~x\in A\text{ et }x\in B\right\}\end{eqnarray*}\)
On observera que
\(\begin{equation*}A\subset A\cup B\text{, et }B\subset A\cup B\end{equation*}\)
et que
\(\begin{equation*}A\cap B\subset A,\text{ et }A\cap B\subset B\end{equation*}\)
Complément : Propriétés :
Soient \(A,B\) et \(C\) trois sous ensembles d'un ensemble \(E\) Les propriétés suivantes se déduisent de celles introduites dans la section des connecteurs logiques :
\(A\cap A=A\).
\(A\cap B=B\cap A\) commutativité de l'intersection.
\(A\cup B=B\cup A\) commutativité de l'union.
\(\left( A\cap B\right) \cap C=A\cap \left( B\cap C\right)\) associativité de l'intersection.
\(\left( A\cup B\right) \cup C=A\cup \left( B\cup C\right)\) associativité de l'union.
\(\large C}_{E}\left( A\cap B\right) ={\LARGE C}_{E}A\cup {\LARGE C}_{E}B.\)
\({\large C}_{E}\left( A\cup B\right) ={\LARGE C}_{E}A\cap {\LARGE C}_{E}B\)
\({\large C}_{E}A\cap A=\varnothing\)
\({\large C}_{E}A\cup A=E\).
Définition : Différence et différence symétrique
Soient \(A\) et \(B\)deux sous ensembles d'un ensemble \(E\),
on note \(A\smallsetminus B\) la différence de \(A\) et \(B\), comme étant l'ensemble des éléments de \(A\) n'appartenant pas à \(B\).
\(\begin{eqnarray*}A\smallsetminus B &=&\left\{ x\in E;~x\in A\text{ et }x\notin B\right\} \\&=&A\cap {\LARGE C}_{E}B\end{eqnarray*}\).
La différence symétrique de \(A\) et \(B\) est l'ensemble noté \(A\triangle B\) défini par
\(\begin{eqnarray*}A\triangle B &=&\left( A \smallsetminus B\right) \cup \left( B\smallsetminus A\right) \\&=&\left( A\cup B\right) \smallsetminus \left( A\cap B\right)\end{eqnarray*}\)