Classification des applications
Définition : Application surjective
On dira que \(f\) est une application surjective si et seulement si tout élément \(y\) de \(F\) possède « au moins un antécédent »
\(x\) dans \(E\).
En d'autres termes
\(f\) est surjective \(\Leftrightarrow \ \left( \forall y\in F,~\exists x\in E,~y=f(x)\right) \).
\(f\) est surjective \(\Leftrightarrow \ \left( \forall y\in F\right),\) l'équation \(y=f(x) \) possède au moins une solution \( x\in E\).
Exemple :
Soit
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto f(x)=3x+5\end{array}\end{equation*}\).
Soit \(y\in \mathbb{R}\),\(\begin{eqnarray*}y &=&f(x)\Rightarrow y=3x+5 \\y &=&f(x)\Rightarrow x=\frac{y-5}{3}\end{eqnarray*}\), ainsi
\( \forall y\in \mathbb{R},~\exists x=\frac{y-5}{3}\in \mathbb{R}, \ ~y=f(x).\)
En conclusion \(f\) est surjective.
Définition : Application injective
On dira que \(f\) est une application injective si et seulement si tout élément \(y\) de \(F\) possède « au plus un antécédent »
\(x\) dans \(E\).
En d'autres termes
\(f\) est injective \(\Leftrightarrow \left( \forall x_{1},x_{2} \in E, \ x_{1} \neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})\right)\).
\(f\) est injective \(\Leftrightarrow \)
\(\left( \forall x_{1}, x_{2}\in E, \ f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}\right)\).
\(f\) est injective \(\Leftrightarrow \) (\( \forall y \in F,\) l'équation
\( y=f(x)\) possède au plus une solution \( x\in E\))
Exemple :
Soit
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc} f: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto f(x)=3x+5 \end{array} \end{equation*}\)
Soient \(x_{1},x_{2} \ \in \mathbb{R}\),
\(\begin{eqnarray*}f(x_{1}) &=&f(x_{2})\Rightarrow 3x_{1}+5=3x_{2}+5 \\f(x_{1}) &=&f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}\end{eqnarray*}\).
En conclusion \(f\) est injective.
Définition : Application bijective
On dira que \(f\) est une application bijective si et seulement si elle est « injective et surjective à la fois »
.
En d'autres termes \(f\) est une application bijective ssi[1] tout élément \(y\) de \(F\) possède un et un seul antécédent \(x\) dans \(E\)
\(f\) est bijective \(\Leftrightarrow\) (\( \forall y\in F\), l'équation \( y=f(x)\) possède une et une seule solution \( x\in E\))
\(f\) est bijective \(\Leftrightarrow\) (\(\forall y \in F, \exists! x \in E : y = f(x)\)).
Exemple :
Soit
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto f(x)=3x+5\end{array}\end{equation*}\).
Comme on l'a déjà vu, l'application \(f\) est injective et surjective, elle est donc bijective.
Remarque :
Une application bijective d'un ensemble \(E\) dans lui même est appelée permutation.