Application composé

Définition

Soient \(A,B\) et \(C\) trois ensembles donnés, et soient \(f\) et \(g\) deux

applications telles que

\(\begin{equation*}\begin{array}{cc }f: & A \longrightarrow B \\ & x\longmapsto f(x)\end{array}\end{equation*}\) et \(\begin{equation*}\begin{array}{cc} g: & B\longrightarrow C \\& x\longmapsto g(x)\end{array}\end{equation*}\).

On définit alors l'application composée de \(f\) et \(g\) notée\( \left(g\circ f\right)\)

  à lire \(g\) rond \(f\) par

\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}\left( g\circ f\right) : & A\longrightarrow C \\& x\longmapsto \left( g\circ f\right) (x)=g\left( f(x)\right)\end{array}\end{equation*}\)

Remarque

  1. L'application \(\left( g\circ f\right)\) n'est définie que si l'ensemble d'arrivée de \(f\) est égal à l'ensemble de départ de \(g\).

  2. L'application \( \left( g\circ f\right)\) peut être définie sans pour autant que l'application\( \left( f\circ g\right)\)  le soit.

  3. Même quand les deux applications \(\left( g\circ f\right)\) et \(\left( f\circ g\right)\) existent, en général \(\left( g\circ f\right) \neq \left( f\circ g\right)\), en d'autres termes \(\circ\) n'est pas commutatif.

Exemple

Soient

\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto f(x)=3x+5\end{array}\end{equation*}\)

et

\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}g: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto g(x)=-2x+3\end{array}\end{equation*}\)

alors

\(\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) (x) &=&g\left( f(x)\right) \\&=&-2f(x)+3 \\&=&-2\left( 3x+5\right) +3 \\&=&-6x+-7\end{eqnarray*}\)