Application composé
Définition :
Soient \(A,B\) et \(C\) trois ensembles donnés, et soient \(f\) et \(g\) deux
applications telles que
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc }f: & A \longrightarrow B \\ & x\longmapsto f(x)\end{array}\end{equation*}\) et \(\begin{equation*}\begin{array}{cc} g: & B\longrightarrow C \\& x\longmapsto g(x)\end{array}\end{equation*}\).
On définit alors l'application composée de \(f\) et \(g\) notée\( \left(g\circ f\right)\)
à lire \(g\) rond \(f\) par
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}\left( g\circ f\right) : & A\longrightarrow C \\& x\longmapsto \left( g\circ f\right) (x)=g\left( f(x)\right)\end{array}\end{equation*}\)
Remarque :
L'application \(\left( g\circ f\right)\) n'est définie que si l'ensemble d'arrivée de \(f\) est égal à l'ensemble de départ de \(g\).
L'application \( \left( g\circ f\right)\) peut être définie sans pour autant que l'application\( \left( f\circ g\right)\) le soit.
Même quand les deux applications \(\left( g\circ f\right)\) et \(\left( f\circ g\right)\) existent, en général \(\left( g\circ f\right) \neq \left( f\circ g\right)\), en d'autres termes \(\circ\) n'est pas commutatif.
Exemple :
Soient
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto f(x)=3x+5\end{array}\end{equation*}\)
et
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}g: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto g(x)=-2x+3\end{array}\end{equation*}\)
alors
\(\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) (x) &=&g\left( f(x)\right) \\&=&-2f(x)+3 \\&=&-2\left( 3x+5\right) +3 \\&=&-6x+-7\end{eqnarray*}\)