Image directe et image réciproque

DéfinitionImage direct

Soit \(\begin{array}{cc}f: & E\longrightarrow F \\& x\longmapsto f(x)\end{array}\), une application donnée, et soient \(A\subset E\) et \( B\subset F\).

On définit l'ensemble \(f\left( A\right)\)  par

\(\begin{equation*} f \left( A\right) =\left\{ y\in F, ~\exists x \in A\text{ tel que } y=f(x)\right\}\end{equation*}\)

\(f\left( A\right)\) ainsi définie s'appelle image directe de l'ensemble \(A\) par \(f\).

On fera remarquer au lecteur que \(f\left( A\right) \subset F\).

DéfinitionImage réciproque

On définit l'ensemble \(f^{-1}\left( B\right)\) par

\(\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in E;~f(x)\in B\text{ }\right\}\end{equation*}\)

\(f^{-1}\left( B\right)\) ainsi définie s'appelle image réciproque de l'ensemble \(B\) par \(f\).

On fera remarquer au lecteur que \( f^{-1}\left(B\right) \subset E\). Il est aussi à noter que \(f\) n'est pas nécessairement bijective \(f^{-1}\left( B\right)\) est une simple notation qui désigne un ensemble.[1]