Application réciproque
Définition : Application réciproque (Inverse)
Soit
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & A\longrightarrow B \\& x\longmapsto y=f(x)\end{array}\end{equation*}\),
une application bijective.
On définit l'application réciproque notée \(f^{-1}\) par
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f^{-1}: & B\longrightarrow A \\& y\longmapsto x=f^{-1}(y)\end{array}\end{equation*}\)
Attention :
Il est très important de faire la différence entre\( f^{-1}(y)\) et \(\left[ f(y)\right] ^{-1}=\frac{1}{f(y)}\). Pour éviter cette confusion nous allons privilégier l'appellation réciproque à celle d'inverse, du moins dans un premier temps.
Exemple :
Soit l'application
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto f(x)=3x+5\end{array}\end{equation*}\),
nous avons déjà montré plus haut que \(f\) est bijective, elle admet donc
une application réciproque \(f^{-1}\) pour trouver l'expression de \(f^{-1}(x)\) on procède comme suit
\(\begin{equation*}y=f(x)=3x+5\Rightarrow x=\frac{y-5}{3}\end{equation*}\)
en en déduit donc que \(f^{-1}(y)=\frac{y-5}{3}\), la varaiable \(y\) étant une variable muette on peut donc écrire
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f^{-1}: & \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\longmapsto f^{-1}(x)=\frac{x-5}{3}\end{array}\end{equation*}\).
Il faut observer que que \(\left( f\circ f^{-1}\right) (x)=x\) et \(\left(f^{-1}\circ f\right) (x)=x.\)
Remarque :
Soit \(f:A\longrightarrow B\) une application bijective, alors \(f^{-1}:B\longrightarrow A,\) et on a \(\begin{equation*}f\circ f^{-1}=I_{B}\text{ et }f^{-1}\circ f\text{ }=I_{A}\end{equation*}\)
Proposition :
Soit \(f:A\longrightarrow B\) une application donnée, et soit \(g:B\longrightarrow A\) une deuxième application, si l'on a
\(\begin{equation*}f\circ g=I_{B}\text{ et }g\circ f\text{ }=I_{A}\end{equation*}\) alors \(f\) et \(g\) sont bijectives, et de plus \(g=f^{-1}\) et \(g^{-1}=f\).7
Corollaire :
Soit \(f:A\longrightarrow B\) une application bijective, alors \(f^{-1}:B\longrightarrow A\), est aussi une application bijective et\( \left(f^{-1}\right) ^{-1}=f\).
Remarque :
Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors l'application \((g\circ f)\) est bijective, et de plus \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).