Continuité

Définition

Soit \(f\) une fonction dé finie en un point \(x_0\).

  1. On dit qu'une fonction \(f\) est continue en un point \(x_0\) si et seulement si

    \(\begin{equation*}\underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0})\end{equation*}\)

    il est donc nécessaire que \(f\) soit définie en \(x_0\) , en d'autres

    termes, avant de parler de continuité en un point il faut d'abord s'assurer que \(f\) y est définie.

  2. On dit qu'une fonction \(f\) est continue en un ensemble\( I \subset\mathbb{R}\) si et seulement si \(f\) est continue en tout point de \(I\).

  3. On dit qu'une fonction \(f\) est continue à droite du point \(x_0\) si et seulement si

    \(\begin{equation*}\underset{\underset{>}{x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0})\end{equation*}\).

  4. On dit qu'une fonction \(f\) est continue à gauche du point \(x_0\)

    si et seulement si

    \(\begin{equation*}\underset{\underset{<}{x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0})\end{equation*}\)

Propriétés :

  1. ( \(f\) est continue en un point \(x_0\)) \(\Longleftrightarrow (\underset { \underset{>}{x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=\underset{\underset{<}{ x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0}))\).

  2. Si \(f\) et \(g\) sont continues en un point \(x_0\) alors\( \left(f+g\right) $ et $\left( f.g\right)\) sont continues en \(x_0\), et si de plus \(g(x_{0})\neq 0\) alors \(\frac{f}{g}\) est aussi continue en \(x_{0}\).

  3. Si \( f: A\rightarrow B\) est continue en \( x_{0}\) et si \(g:B\rightarrow C\)

    est continue en \(f(x_{0})\) alors \( \left( g\circ f\right)\)  est continue en\( x_{0}\).

Opérations sur les fonctions continues :

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) ; soit un réel \(a \in \mathbb{R}\). Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues en \(a\), alors :

  1. \(\lambda . f\) est continue en \(a\) (\(\lambda \in \mathbb{R}\)).

  2. \(f+g\) est continue en \(a\) (idem pour "-").

  3. \(f.g\) est continue en \(a.\)

  4. \(\dfrac{f}{g}\) est continue en \( a\) si \(g(a)\neq 0\) et non définie en \(a\) si \(g(a)=0\).

  5. Si une fonction \(g\) est continue au point \(a\) et une fonction \(f\) est continue au point \(g(a)\), alors\(f\circ g\)  est continue en \( a\).