Généralité sur les fonctions

Définition

On appelle une fonction réelle d'une variable réelle, toute fonction de \(\mathbb{R}\) ou d'une partie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\),

\(\begin{equation*}\begin{array}{cc} f: & \mathbb{R\rightarrow R} \\& x\longmapsto f(x)\end{array}\end{equation*}\)

DéfinitionFonction paires-impaires

  • Une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) symétrique par rapport à \(0\) est dite paire si \(\begin{equation*}\forall x\in I,\text{ \ }f(-x)=f(x)\end{equation*}\)

  • Une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) symétrique par rapport à \(0\) est dite impaire si

    \(\begin{equation*}\forall x\in I,\text{ \ }f(-x)=-f(x)\end{equation*}\)

DéfinitionFonctions périodiques

Une fonction $f$ est dite p\ériodique, s'il existe un \(T>0\), tel que

\(\begin{equation}f(x+T)=f(x)~\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \label{T}\end{equation}\).

Si de plus \(T\) est le plus petit réel positif vérifiant la définition, alors \(T\) est appelé période de la fonction \(f\).

DéfinitionFonctions bornées

  1. Une fonction\(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\)

    sera dite majorée si et seulement si

    \(\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R}\text{, }\forall x\in E\text{ \ }f(x)\leq M\end{equation*}\).

  2. Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite minorée si et seulement si

    \(\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{R},\forall x\in E\ m\leq f(x)\end{equation*}\)

  3. Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée

    \(\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R}\text{, }\exists m\in \mathbb{R}\text{, }\forall x\inE\text{ \ }m\leq f(x)\leq M\end{equation*}\)

    ou de manière équivalente

    \(\begin{equation*}\exists A>0,~\forall x\in E\text{ \ }\left\vert f(x)\right\vert \leq A\end{equation*}\)

DéfinitionFonctions monotones

  1. Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite croissante si et seulement si

    \(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\end{equation*}\).

  2. Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite strictement croissante si et seulement si

    \(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\end{equation*}\).

  3. Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite décroissante si et seulement si

    \(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\end{equation*}\).

  4. Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite strictement décroissante si et seulement si

    \(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x< y\Rightarrow f(x)>f(y)\end{equation*}\).

  5. \(f\) est monotone si elle est croissante ou bien décroissante.

  6. \(f\) est strictement monotone si elle est strictement croissante ou bien strictement décroissante.