Continuité
Définition :
Soit \(f\) une fonction dé finie en un point \(x_0\).
On dit qu'une fonction \(f\) est continue en un point \(x_0\) si et seulement si
\(\begin{equation*}\underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0})\end{equation*}\)
il est donc nécessaire que \(f\) soit définie en \(x_0\) , en d'autres
termes, avant de parler de continuité en un point il faut d'abord s'assurer que \(f\) y est définie.
On dit qu'une fonction \(f\) est continue en un ensemble\( I \subset\mathbb{R}\) si et seulement si \(f\) est continue en tout point de \(I\).
On dit qu'une fonction \(f\) est continue à droite du point \(x_0\) si et seulement si
\(\begin{equation*}\underset{\underset{>}{x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0})\end{equation*}\).
On dit qu'une fonction \(f\) est continue à gauche du point \(x_0\)
si et seulement si
\(\begin{equation*}\underset{\underset{<}{x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0})\end{equation*}\)
Propriétés :
( \(f\) est continue en un point \(x_0\)) \(\Longleftrightarrow (\underset { \underset{>}{x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=\underset{\underset{<}{ x\rightarrow x_{0}}}{\text{lim}}f(x)=f(x_{0}))\).
Si \(f\) et \(g\) sont continues en un point \(x_0\) alors\( \left(f+g\right) $ et $\left( f.g\right)\) sont continues en \(x_0\), et si de plus \(g(x_{0})\neq 0\) alors \(\frac{f}{g}\) est aussi continue en \(x_{0}\).
Si \( f: A\rightarrow B\) est continue en \( x_{0}\) et si \(g:B\rightarrow C\)
est continue en \(f(x_{0})\) alors \( \left( g\circ f\right)\) est continue en\( x_{0}\).
Opérations sur les fonctions continues :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) ; soit un réel \(a \in \mathbb{R}\). Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues en \(a\), alors :
\(\lambda . f\) est continue en \(a\) (\(\lambda \in \mathbb{R}\)).
\(f+g\) est continue en \(a\) (idem pour "-").
\(f.g\) est continue en \(a.\)
\(\dfrac{f}{g}\) est continue en \( a\) si \(g(a)\neq 0\) et non définie en \(a\) si \(g(a)=0\).
Si une fonction \(g\) est continue au point \(a\) et une fonction \(f\) est continue au point \(g(a)\), alors\(f\circ g\) est continue en \( a\).