Limites infinies

Définition

  1. On dit que \(f(x)\) tend vers \(+\infty\)  quand \(x\) tend vers \(x_{0}\) et

    on écrit \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=+\infty\) , si

    \(\begin{equation*}\left( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=+\infty \right)\Leftrightarrow \left( \forall A>0,~\exists \alpha >0\text{; }\left( \forall x\in I,~~~\left\vert x-x_{0}\right\vert <\alpha ~\Rightarrow f(x)>A\right) \right)\end{equation*}.\)

  2. On dit que \(f(x)\) tend vers \(-\infty\)  quand \(x\) tend vers \(x_{0}\) et

    on écrit \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=-\infty\) , si

    \(\begin{equation*}\left( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=-\infty \right)\Leftrightarrow \left( \forall B<0,~\exists \alpha >0\text{; }\left( \forall x\in I,~~~\left\vert x-x_{0}\right\vert <\alpha ~\Rightarrow f(x)<B\right) \right)\end{equation*}.\)

  3. On dit que \(f(x)\) tend vers \(l\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et on écrit \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\text{lim}}f(x)=l,\) si

    \(\begin{equation*}\left( \underset{x\rightarrow +\infty }{\text{lim}}f(x)=l\right)\Leftrightarrow \left( \forall \varepsilon >0,~\exists A>0\text{; }\left(\forall x\in I,~~x>A~\Rightarrow ~\left\vert f(x)-l\right\vert <\varepsilon\right) \right)\end{equation*}.\)

  4. On dit que \(f(x)\) tend vers \(l\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\) et on écrit \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\text{lim}}f(x)=l,\) si

    \(\begin{equation*}\left( \underset{x\rightarrow -\infty }{\text{lim}}f(x)=l\right)\Leftrightarrow \left( \forall \varepsilon >0,~\exists B<0\text{; }\left(\forall x\in I,~~x<B~\Rightarrow ~\left\vert f(x)-l\right\vert <\varepsilon\right) \right)\end{equation*}\)

FondamentalThéorème d'encadrement ou des gendarmes

Soit \(a \in \mathbb{R}\) ou \(a=+\infty\) ou \(a=-\infty\).

Si \(\underset{a }{\text{lim}}f(x)=l\), \(\underset{a }{\text{lim}}g(x)=l\) et \(f \leq h\leq g\) alors \(\underset{a }{\text{lim}}h(x)=l\)

FondamentalThéorème de comparaison

  • Si \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\text{lim}}f(x)=+\infty \) et \(g \geq f\) alors \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\text{lim}}g(x)=+\infty\).

  • Si \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\text{lim}}f(x)=-\infty \) et \(g \leq f\) alors \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\text{lim}}g(x)=-\infty\).