Limite d'une fonction en un point
Définition :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\), et soit \( x_{0} \in I\), on dit que \(f(x)\) tend vers \(l\) quand \(x\) tend vers \(x_{0}\) si
\(\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,~\exists \alpha _{\varepsilon }>0\text{; } \forall x\in I,\left(~\left\vert x-x_{0}\right\vert <\alpha _{\varepsilon}\Rightarrow ~\left\vert f(x)-l\right\vert <\varepsilon \right)\end{equation*} et notera dans ce cas \begin{equation*}\underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=l\end{equation*}\)
Fondamental :
Si la limite d'une fonction en un point existe alors elle est unique, et\(\begin{equation*}\left(\underset{x\rightarrow x_{0}}\lim f(x)=l\right) \Longleftrightarrow \left( \underset{x\rightarrow x_{0}^+}\lim f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^-}\lim f(x)=l\right)\end{equation*}\)
Propriétés :
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions données alors,
Si \( \left( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=l_{1} \text{ et } \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}g(x)=l_{2}\right)\) alors \(\left( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\left( f(x)+g(x)\right) =l_{1}+l_{2}\right)\).
Si\( \left( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=l_{1} \text{ et } \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}g(x)=l_{2}\right)\) alors \(\left( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\left( f(x).g(x)\right) =l_{1}.l_{2}\right)\).
Si \(\left( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=l_{1} \text{ et } \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}g(x)=l_{2}\neq 0\right)\) alors \( \left(\underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right) =\frac{l_{1}}{l_{2}}\right)\).
Si \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)=0\) et \(g\) est une fonction bornée alors\( \underset{x\rightarrow x_{0}}{\text{lim}}f(x)g(x)=0\).