Généralité sur les fonctions
Définition :
On appelle une fonction réelle d'une variable réelle, toute fonction de \(\mathbb{R}\) ou d'une partie de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\),
\(\begin{equation*}\begin{array}{cc} f: & \mathbb{R\rightarrow R} \\& x\longmapsto f(x)\end{array}\end{equation*}\)
Définition : Fonction paires-impaires
Une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) symétrique par rapport à \(0\) est dite paire si \(\begin{equation*}\forall x\in I,\text{ \ }f(-x)=f(x)\end{equation*}\)
Une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) symétrique par rapport à \(0\) est dite impaire si
\(\begin{equation*}\forall x\in I,\text{ \ }f(-x)=-f(x)\end{equation*}\)
Définition : Fonctions périodiques
Une fonction $f$ est dite p\ériodique, s'il existe un \(T>0\), tel que
\(\begin{equation}f(x+T)=f(x)~\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \label{T}\end{equation}\).
Si de plus \(T\) est le plus petit réel positif vérifiant la définition, alors \(T\) est appelé période de la fonction \(f\).
Définition : Fonctions bornées
Une fonction\(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\)
sera dite majorée si et seulement si
\(\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R}\text{, }\forall x\in E\text{ \ }f(x)\leq M\end{equation*}\).
Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite minorée si et seulement si
\(\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{R},\forall x\in E\ m\leq f(x)\end{equation*}\)
Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée
\(\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R}\text{, }\exists m\in \mathbb{R}\text{, }\forall x\inE\text{ \ }m\leq f(x)\leq M\end{equation*}\)
ou de manière équivalente
\(\begin{equation*}\exists A>0,~\forall x\in E\text{ \ }\left\vert f(x)\right\vert \leq A\end{equation*}\)
Définition : Fonctions monotones
Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite croissante si et seulement si
\(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\end{equation*}\).
Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite strictement croissante si et seulement si
\(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\end{equation*}\).
Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite décroissante si et seulement si
\(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\end{equation*}\).
Une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(E\subset \mathbb{R}\) sera dite strictement décroissante si et seulement si
\(\begin{equation*}\text{ }\forall x,y\in E;\text{ }x< y\Rightarrow f(x)>f(y)\end{equation*}\).
\(f\) est monotone si elle est croissante ou bien décroissante.
\(f\) est strictement monotone si elle est strictement croissante ou bien strictement décroissante.