Opérations algébriques sur les fonctions

Définition

Soit \(E \subset \mathbb{R}\) et soient \(f\  : \ E\rightarrow \mathbb{R}\) et \(g \ : \ E \rightarrow \mathbb{R}\).

  1. Somme :

    On appelle somme de deux fonctions \(f\) et \(g\) et on note \(f+g\), la fonction

    \(\begin{equation*} f+g \ : \ E  \rightarrow  \mathbb{R},\ \text{} \ x \rightarrow(f+g)(x)= f(x)+g(x)\end{equation*}.\)

  2. Produit par un scalaire :

    Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\), la fonction \(\lambda .f\) est définie par

    \(\begin{equation*} \lambda .f\ : \ E  \rightarrow  \mathbb{R},\ \text{} \ x \rightarrow(\lambda .f)(x)= \lambda f(x)\end{equation*}.\)

  3. Produit de deux fonctions :

    On appelle produit de deux fonctions \(f\) et \( g\) et on note \(f.g\), la fonction

    \(\begin{equation*} f.g\ : \ E  \rightarrow  \mathbb{R},\ \text{} \ x \rightarrow(f.g)(x)= f(x).g(x)\end{equation*}.\)

  4. Quotient :

    Si \(\forall x \in E\) : \(g(x)\neq 0\), alors \(\dfrac{f}{g}\)est définie par :

    \(\begin{equation*} \dfrac{f}{g}\ : \ E  \rightarrow  \mathbb{R},\ \text{} \ x \rightarrow(\dfrac{f}{g})(x)= \dfrac{f(x)}{g(x)}\end{equation*}.\)