Prolongement par continuité

Définition

Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction donnée, telle

que \(f\) n'est pas définie en \(x_0\) mais admettant une limite \(l\in\mathbb{R}\) quand \(x\) tend vers \(x_0\), \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{ \text{lim}}f(x)=l.\)

On définit alors la fonction \(\tilde{f}\) appelée prolongement par continuité de \(f\) au point \(x_0\) par

\(\begin{equation*}\tilde {f}(x)=\left\{\begin{array}{c}f(x)\text{ \ si \ }x\neq x_{0} \\l\text{ \ \ \ \ \ \ \ si \ }x=x_{0} \end{array} \right.\end{equation*}\)

Remarque

  1. Il faut observer que contrairement à \(f\) sont prolongement par continuité \(\tilde{f}\) est définie en \(x_0\) et de plus \(\tilde{f}\) y est continue.

  2. Le prolongement par continuité peut ne pas exister, par exemple \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\) n'admet pas de prolongement par continuité en \(x_0=0\) car \(\underset{x\rightarrow 0}{\text{lim}}f(x)=+\infty .\)