Fonction continue strictement monotone

Fondamental

Soit \(I\) un intervalle de \( \mathbb{R}\), et soit \(f\) une fonction définie sur \(I\), continue et strictement monotone alors on a les propriétés suivantes :

  1. \(f\left( I\right)\)  est aussi un intervalle de \(\mathbb{R}\) ( fermé borné si \(I\) est aussi fermé borné).

  2. \(f\) est bijective de \(I\) vers \(f\left( I\right)\) .

  3. L'application réciproque \(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow I\), est continue strictement monotone de même nature que \(f\) ( si \(f\) est strictement croissante alors\( f^{-1}\) l'est aussi, et si \(f\) est strictement décroissante alors \( f^{-1}\) l'est aussi).

  4. Les graphes de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la première bissectrice \(y=x.\)

ComplémentFonctions réciproques élémentaires

  1. La fonction

    \(\begin{equation*} \begin{array}{cc} f: & \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \longrightarrow \left[ -1,1 \right] \\& x\mapsto f(x)=\text{\textit{sin}}x \end{array} \end{equation*}\)

    est continue strictement croissante, elle est donc bijective et admet une

    application réciproque que l'on notera \(Arcsin\), ainsi

    \(\begin{equation*}\begin{array}{cc} Arcsin: & \left[ -1,1\right] \longrightarrow \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right] \\& x\mapsto f(x)=Arcsinx \end{array}\end{equation*}\)

    avec

    \(\begin{equation*}y=Arcsinx\Leftrightarrow x=siny \end{equation*}\)

    \(\begin{equation*}Arcsin\left( sinx\right) =x\text{ et } sin\left( Arcsinx\right) =x\end{equation*}.\)

  2. La fonction

    \(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \left[ 0,\pi \right] \longrightarrow \left[ -1,1\right] \\& x\mapsto f(x)=\mathit{cos}x\end{array}\end{equation*}\)

    La fonction

    \(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \left[ 0,\pi \right] \longrightarrow \left[ -1,1\right] \\& x\mapsto f(x)=\mathit{cos}x\end{array}\end{equation*}\)

    avec

    \(\begin{equation*}y=Arc\mathit{cos}x\Leftrightarrow x=\mathit{cos}y\end{equation*}\)

    \(\begin{equation*}Arc\mathit{cos}\left( \mathit{cos}x\right) =x\text{ et }\mathit{cos}\left(Arc\mathit{cos}x\right) =x\end{equation*}\)

  3. La fonction

    \(\begin{equation*}\begin{array}{cc}f: & \left] -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[ \longrightarrow \mathbb{R}\\& x\mapsto f(x)=tgx \end{array} \end{equation*}\)

    est continue strictement croissante, elle est donc bijective et admet une

    application réciproque que l'on notera \(Arc\mathit{tg}\), ainsi

    \(\begin{equation*}\begin{array}{cc}Arc\mathit{tg}: & \mathbb{R}\longrightarrow \left] -\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2}\right[ \\& x\mapsto f(x)=Arc\mathit{tg}x\end{array}\end{equation*}\)

    avec

    \(\begin{equation*}y=Arc\mathit{tg}x\Leftrightarrow x=\mathit{tg}y\end{equation*}\)

    \(\begin{equation*}Arc\mathit{tg}\left( \mathit{tg}x\right) =x\text{ et }\mathit{tg}\left( Arc\mathit{tg}x\right) =x\end{equation*}\)