Fonction continue sur un intervalle fermé borné

Définition

Soit \(a,b\in \mathbb{R}\) alors l'intervalle fermé borné \(\left[ a,b\right]\) est aussi appelé compact de \(\mathbb{R}\).

Définition

Soit \(f\) une fonction majorée sur l'ensemble \(E\)\( \begin{equation*}\forall x\in E,f(x)\leq M\end{equation*}.\)

alors

alors \(M\) est appelé majorant (clairement il n'est pas unique).

On appelle borne supérieure de \(f\) sur \(E\) le plus petit des majorants, on le note \( \underset{x\in E}{Sup}~f(x).\)

Soit \(f\) une fonction minorée sur l'ensemble \(E\) est appelé majorant (clairement il n'est pas unique).

On appelle borne supérieure de \(f\) sur \(E\) le plus petit des majorants, on le note \(\underset{x\in E}{Sup}~f(x).\)

Soit $f$ une fonction minorée sur l'ensemble \(E\)

\(\begin{equation*}\forall x\in E,m\leq f(x)\end{equation*}\)

alors \(m\) est appelé minorant (clairement il n'est pas unique).

On appelle borne inférieure de \(f\) sur \(E\) le plus grand des minorants, on le note \(\underset{x\in E}{Inf}~f(x).\)

Proposition :

L'image d'un compact \(\left[ a,b\right]\)  par une fonction continue \(f\) est aussi un compact i.e.\( f\left( \left[ a,b\right] \right)\) =\(\left[ \alpha,\beta \right]\) avec \(\underset{x\in \left[ a,b\right] }{\alpha =Inf}~f(x)\) et \(\underset{x\in \left[ a,b\right] }{\beta =Sup}~f(x).\)

Théorème des valeurs intermédiaires :

Soit \(f\) une fonction continue sur un compact \(\left[ a,b\right]\) ; alors \(f\) atteint toutes les valeurs comprises entre \(\alpha\) et \(\beta\) $ où \(f\left( \left[ a,b\right] \right)\) \(=\left[ \alpha ,\beta \right] ,\) en d'autres termes

\(\begin{equation*}\forall y\in \left[ \alpha ,\beta \right] ,~\exists x\in \left[ a,b\right];~y=f(x)\end{equation*}\)

En particulier

\(\begin{equation*}\alpha \beta \leq 0\Longrightarrow \exists x_{0}\in \left[ a,b\right];~f(x_{0})=0\end{equation*}\)

Remarque

Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires on a pris l'habitude d'observer si \(f(a).f(b)\leq 0\), auquel cas on en déduit l'existence de \(x_{0}\in \left[ a,b\right] ;~\) tel que \(f(x_{0})=0,\) ceci n'est pas faux, mais il faut faire attention! par exemple \(\left[ a,b\right] =\left[-2,2\right]\)

\(\begin{equation*}f(x)=x^{2}\end{equation*}\)

alors bien que

\(\begin{equation*}f(-2).f(2)=4\times 4=16>0\end{equation*}\)

on a bien

\(\begin{equation*}x_{0}=0\in \left[ -2,2\right] ;~\ \text{tel que }f(0)=0\end{equation*}\).