Paramètres de position ou de tendance centrale

Le Mode :

Le mode d'un ensemble de nombres est la valeur qui y apparaît le plus, c'est-à-dire la valeur dominante. Le mode peut ne pas exister et, même s'il existe, peut ne pas être unique (dans le cas continue on parle de classe modale).

ExempleCas discret

  1. L'ensemble {2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12,18} a comme mode 9.

  2. L'ensemble {3, 5, 8, 10, 12,15,16} n'a pas de mode.

  3. L'ensemble {2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7,7,9} a deux modes 4 et 7. La série est appelée bimodale.

AttentionCas continu

Dans le cas d'une variable continue, on applique la formule suivante :

M O = l i + Δ 1 ( Δ 1 + Δ 2 ) a i M_O=l_i + {Δ_1} over {(Δ_1+Δ_2 )} a_i

\(l_{i}\) : la limite inférieur de la classe modale

\(\Delta_{1}\) : la différence entre la fréquence de la classe modale et celle d'avant.

\(\Delta_{2}\) : la différence entre la fréquence de la classe modale et celle d'après.

\(a_{i}\) : la longueur de la classe modale.

ExempleMode de l'exemple 2

M O = 1.03 + ( 8 7 ) ( 8 7 ) + ( 8 6 ) ( 1.09 1.03 ) = 1.05 . M_O=1.03+ {(8-7)} over {(8-7)+(8-6)}(1.09-1.03)=1.05.

La médiane :

La médiane d'un ensemble de nombre rangés par ordre croissant est :

  • La valeur du milieu si le nombre des données est impaire

  • La moyenne arithmétique des deux valeurs du milieu si le nombre des données est pair.

ExempleCas discret

  1. L'ensemble des nombre {3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10} a comme médiane 6.

  2. L'ensemble des données {5, 5, 7, 9, 11, 12,15, 18} a comme médiane \((9+11)/12= 10\).

AttentionCas continu

Pour déterminer la médiane dans le cas continue il est nécessaire de considérer les effectifs cumulés croissants ou décroissants et de chercher le cas échéant par interpolation, la valeur du caractère correspondant à 50% de l'effectif total.

ExempleMédiane de l'exemple 2 :

\(M_{e}\) est l'abscisse de \(32×50% = 32×0,5= 16\). On a :

M e 1,03 16 14 = 1,09 1,03 22 14 M e 1,03 2 = 0,06 2 M e = 1,045 {M_e-1,03} over {16-14} = {1,09-1,03} over {22-14} ⟹ {M_e-1,03} over {2}={0,06} over {2} ⟹M_e=1,045

Les quartiles

On appelle quartiles les nombres réels \(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}\) pour lesquels les fréquences cumulées de X sont respectivement 0.25, 0.5, 0.75. Ce sont les valeurs pour lesquelles l'ordonnée de la courbe cumulative des fréquences est respectivement égale à 0.25, 0.5, 0.75. Les quartiles partagent l'étendue en quatre intervalles qui ont le même effectif.

Moyenne arithmétique

Soit \(x_{1}, x_{2},..., x_{n}\) une suite finie de nombres. La moyenne arithmétique est :

\(\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}.\)

Si chaque valeur \(x_{i}\) apparaît \(n_{i}\) fois dans la série ; on peut encore écrire :

\(\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} n_{i} x_{i} .\)

En remarquant que \(\frac{n_{i}}{n}\) est la fréquence relative \(f_{i}\) correspondante à la valeur \(x_{i}\), on a aussi :

\(\bar{x}= \sum_{i} f_{i} x_{i} .\)

ExempleExemple 1

Dans l'exemple1 le nombre moyen d'enfants par famille est :

\(\bar{x}= \frac{16×0+18×1+14×2+11×3+3×4+2×5}{64}=1,58\) enfant

\(=0,25×0+0,281×1+0,218×2+0,17×3+0,047×4+0,31×5=1,58 \) enfant.

ExempleExemple 2

Dans le cas de données groupées en classes, on prend pour valeurs des \(x_{i}\) les centres de classes. Dans l'exemple2 on a :

\(\bar{x}=\frac{3×0,88+4×0,94+7×1,00+8×1,06+6×1,12+4×1,18}{32}=1,04 \) g/l

Comparaison des différents paramètres de position

  • La moyenne arithmétique est peu sensible aux fluctuations d'échantillonnage. Elle se prête bien aux comparaisons. Des valeurs aberrantes peuvent toutefois la modifier sensiblement.

  •  La médiane est plus sensible aux fluctuations d'échantillonnage, elle l'est moins à des valeurs aberrantes. Toutefois, elle se prête moins bien à des calculs algébriques.

  • Le mode est représentatif de la valeur du caractère le plus courant, le plus typique, mais il peut présenter une certaine ambiguïté.

La comparaison des trois permet de se faire une idée plus complète de la distribution. (Si les trois sont a peu prés égales alors la série statistique est a peu prés symétrique).