التوزيع فوق الهندسي Hypergeometric Distribution:
مفهوم التوزيع فوق الهندسي
تشبه أنواع تطبيقات التوزيع فوق الهندسي لأنواع تطبيقات توزيع ذي الحدين، حيث في كلا الحالتين نهتم بحساب احتمال وقوع عدد معين من المشاهدات ضمن فئة محددة. ولكن في حالة توزيع ذي الحدين فإن الاستقلالية بين التجارب مطلوبة مع ثبات احتمال النجاح، ونتيجة لذلك عندما نطبق هذا التوزيع وجب علينا السحب مع الإعادة. لكن هناك بعض الحالات لا يمكن أن يتم فيها السحب مع الإعادة، وهنا يختل شرطا تطبيق توزيع ذو الحدين (استقلالية التجارب[1] وثبات احتمال النجاح) فنلجأ في هذه الحالة إلى تطبيق التوزيع الاحتمالي فوق الهندسي (HGD[2]).
عمليا قانون فوق الهندسي يعني إجراء دراسة إحصائية على عينة n بشرط أن يتم السحب بدون إرجاع، وبالتالي يبقى احتمال النجاح غير ثابت. نقول عن متغير عشوائي X أنه يتبع توزيع فوق هندسي، حيث يمثل X عدد حالات النجاح في عينة n تم اختيارها من مجتمع مكون من N عنصر من بينها N1 عنصر مصنفة على أنها ناجحة، وN-N1 مصنفة على أنها فاشلة، والذي يهتم ثلاثة معالم هي: n، N، N1 وبالتالي يمكن كتابته على الشكل التالي: ، ويعطى شكل دالة التوزيع الاحتمالي لهذا التوزيع وفق الصيغة الرياضية التالية:
المميزات العددية للتوزيع فوق الهندسي:
مثال 05:
تتكون هيئة التدريس في أحد فروع الجامعة من أربعة كيميائيين وسبعة فيزيائيين، سحبنا عشوائيا لجنة مؤلفة من أربعة أساتذة. لنفرض أن المتغير العشوائي x يمثل عدد الكيميائيين في هذه اللجنة.
المطلوب:
1. حدد التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X؟
2. أحسب المميزات العددية لهذا التوزيع؟
الحل:
من خلال المعطيات نلاحظ أن التجربة ثنائية النتيجة فالأستاذ إما أن يكون كيميائيا أو فيزيائيا، والسحب تم بدون إرجاع كما أن الترتيب غير مهم، بحث لا يمكن سحب الأستاذ ثم إرجاعه وعلى ضوء هذا يمكن إخلال شرط تطبيق التوزيع الثنائي، وبالتالي فإن X يتبع توزيع فوق الهندسي أي:
1. تحديد التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X
2. حساب المميزات العددية: