Développement limité
Définition :
Soit
une fonction définie dans un intervalle
contenant
.
On dit que
admet un développement limité d'ordre
en
si :
et
une fonction définie au voisinage de
telle que :
,
avec
tend vers 0 quand
tend vers 0.
Remarque :
Si
est de classe
au voisinage de
, on peut choisir :
(d'après la formule de Taylor).
Exemple :
Le
est :
, avec :
.
Définition :
Opérations sur les D.L :
1/Somme : si
et
admettent des
, alors
admet
dont la partie régulière est la somme des parties régulières.
2/Produit : si
et
admettent des
, alors
admet
dont la partie régulière est le produit des parties régulières (on ne conservant que les termes de puissances inférieures ou égale à
).
3/Quotient : si
et
admettent des
et si
, alors
admet
dont la partie régulière est obtenue par division euclidienne selon les puissances croissantes jusqu’à la puissance
.
Remarque :
Si on a le D.L d'une fonction au voisinage de
, on peut se ramener au D.L au voisinage de 0, en posant :
.
