Fonction de deux variables
Domaine de définition
On considère une fonction
défini par :
L'ensemble de définition (domaine de définition) de
, noté
, est le sous-ensemble de
formé des couples de réels tels que
existe.
Exemple :
Soit
.Soit
est le plan
, C'est au-dessus de la droite d'équation
.Soit
est tous les points du plan qui ne sont pas sur la parabole d'équation
.
Représentation graphique
On considère l'espace euclidien[1] rapporté à un repère orthonormal
. La représentation graphique d'une fonction
de
vers
est l'ensemble des points de cet espace de coordonnées
tels que :
.
Cette représentation graphique est une surface dans l'espace.
Exemple :
Soit
.
la surface représentative de la fonction
est un plan de l'espace, d'équation
. Cette fonction est dite affine.
Il faut que
Pour tracer cet ensemble, on trace d'abord la droite d'équation
|  |
Le dénominateur ne doit pas s'annuler :
Les points de l'ensemble de définition sont tous les points du plan qui ne sont pas sur la parabole d'équation
|  |
Limites
Toutes les propriétés des limites des fonctions à une variable s'étendent aux fonctions à plusieurs variables.
Maintenant quelle sont les méthodes pour trouver la limite d'une fonction de deux variables en un point?
Il y a de multiples façons de s'approcher d'un point dans
, donc il faut trouver une limite valable quelque soit la façons de s'approcher du point considéré.
Calcul de la limite en (0, 0)
Deux techniques possibles :
Passage en coordonnées polaires :
Posons
, ou
contrôle la direction, et donc
.Changement de variable (y=t x) :
Posons
, ou
contrôle la direction, et donc
.
Remarque :
Soit la limite
, ou
on a
Si la limite existe et si elle ne dépend pas de la variable
( ou
), alors cette limite est la limite de
au point
.Si la limite n'existe pas (ou la limite n'est pas finie), alors la limite de
au point
n'existe pas.Si la limite dépend de
( ou
), alors
n'a pas de limite au point
.Si la limite existe alors elle est unique.
Exemple :
Calculons les limites en point
des fonctions suivantes :
Soit
Posons
, on trouve
.Soit
Posons
, on trouve
n'est pas finie donc cette limite n'existe pas.Soit
Posons
, on trouve
n'existe pas car elle est dépend de
.
2. Calcul de la limite ailleurs qu'en (0, 0)
Dans tous ces cas on change la variable en
, puis on applique la règle de calcul de la limite à
.
Limite en
: on pose
.Limite en
: on pose
.Limite en
: on pose
.
Voyons un exemple de chaque cas.
Exemple :
,on pose
, alors
.
.
,on pose
, alors
. Car
.
Fonctions continues
Définition :
Soit
un point de
. On dit que la fonction
est continue au point
si :
.
Exemple :
La fonction
définie sur
par
si
et
est-elle continue en
?
Posons
, on obtient
.
Donc
est continue en
.
Dérivées partielles
Dérivées partielles d'ordre 1
Définition :
Soient
et
un point de
.
Si la fonction d'une variable
(resp
) est dérivable en
(resp est dérivable en
)on dit que
admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à
(resp par rapport à
) en
, et on note
(resp
.Si pour tout élément
de
admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à
(resp par rapport à
) notées
et
ou bien
et
.
Méthode :
Pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable, il suffit de dériver par rapport à cette variable en considérant les autres variables comme des constantes.
Exemple :
Soit
, on a
.Soit
, on a
.Soit
, on a
.
Dérivées partielles d'ordre 2
Définition :
Une fonction à deux variables
admet des dérivées partielles d'ordre 2 si deux dérivées partielles d'ordre 1 admettent elles-mêmes des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à
et à
. On note
.
.
.
.
Exemple :
Pour la fonction
de l'exemple précédent, on a
.
.
.
.
Extremums d'une fonction de deux variables
Définition :
On dit que la fonction
admet un maximum local au point
si il existe un voisinage
de
tel que pour tout point
de
,
.On dit que la fonction
admet un minimum local au point
si il existe un voisinage
de
tel que pour tout point
de
,
.On dit qu'une fonction
admet un extremum local en un point donnée si elle a en ce point soit un maximum local soit un minimum local.
Définition :
Soit
une fonction de deux variables
et
un point de
. On dit que
est un point critique de
si la dérivées partielles d'ordre 1 de
sont égales à
en ce point
.
Fondamental : Théorème
Fondamental : Théorème
Soit
une fonction de deux variables
et
un point critique de
, on note :
Si
, alors
admet un extremum en
, un maximum si
et un minimum si
.Si
, alors
il n'y a pas d'extremum en ce point.Si
, alors on ne peut pas conclure.
Méthode :
Pour calculer les extremums d'une fonction
:
Trouver les points critiques de
, ce qui revient à résoudre le système de deux équations à deux inconnues
.Pour chacun des points trouvés, calculer
, puis conclure à l'aide du théorème précédent.
Exemple :
Déterminer les extremums de la fonction
.
Points critiques :
.Les points critiques sont solutions du système
.On a
admet
points critiques
.Appliquons le Théorème précédente en ces points :
Les dérivées partielles secondes de
sont:
.En
;
et
on a:
Donc,
n'admet pas d'extremum local de ces trois points.En
on a :
, Comme
, alors
admet un minimum local en
.
