Fonctions à deux variables
Définition :
Une fonction à deux variables est une application
.
Exemple :
.
Définition :
Le
domaine de définition d'une fonction[1]
, noté
, est l'ensemble
Pour déterminer
on passe par les étapes suivantes :
1) Écriture du domaine.
2) Détermination des frontières.
3) Représentation graphique et détermination des régions qui constituent
en utilisant des points particuliers situés dans les régions.
Exemple :
Soit
1)
2) Déterminations des frontières
cercle de centre
et de rayon
3) Le cercle divise le plan en deux régions, prenons deux points quelconques de ces deux régions.
et
Pour
on a
Pour
on a
Donc
est le disque fermé.
Limite et continuité
Limite en (0,0) :
Pour calculer la limite d'une fonction à deux variables
lorsque
tend vers
, deux techniques peuvent être utilisées :
-Le changement de variable en coordonnées polaires :
,
, ou
contrôle la direction et donc :
-Le changement de variable
:
Si la limite dépend de θ (ou t) cela veut dire que la limite n’existe pas.
limite en
Pour calculer la limite d'une fonction lorsque
tend vers
on procède comme suit :
On pose
et
.
Limite en
:
On pose
et
Continuité
La fonction f est dite continue en
si :
