Dérivation
Définition :
Soit
une fonction définie sur un intervalle
. On dit que f est dérivable sur
si
existe et est finie.
Cette limite s'appelle la dérivée de f en
, on la note
.
Exemple :
La dérivée en
de la fonction
est
Propriétés :
Soient
deux fonctions dérivables alors on a :
1- Linéarité :
:
;
2- Dérivée du produit de deux fonctions :
.
3- Dérivée du rapport de deux fonctions :
.
4- Dérivée de la composée de deux fonctions :
.
5- Puissance d'une fonction :
.
Théorème de Rolle
Soit
une fonction qui vérifie les conditions suivantes:
- f est continue sur
,
- f est dérivable sur
,
-
,
alors il existe au moins un point c de
tel que
.
C'est à dire que f atteint en c un extremum local ( c'est à dire un maximum ou minimum local) dans
.
Définition :
On dit que f atteint en
un maximum local s'il existe un intervalle I contenant
tel que pour tout élément x de I, on a
Définition :
On dit que f atteint en
un minimum local s'il existe un intervalle I contenant
tel que pour tout élément x de I, on a
Définition :
On dit que
est un point critique de f si
.
Règle de l'Hôpital :
Soient
dérivables telles que
ne s'annulent pas sur
. De plus on suppose que
Alors
Tableau des dérivées
