الوسيط Median
الوسيط هو المقياس الثاني من مقاييس النزعة المركزية من حيث الأهمية،
وتظهر الحاجة إليه عندما تكون البيانات تتبع توزيعا غير معتدل أو في الحالات
التي توجد فيها قيم شاذة يراد التخلص من تأثيرها أو عند وجود بيانات على هيئة جداول تكرارية مفتوحة.
تعريف الوسيط وخصائصه:
تعريف الوسيط
هو القيمة التي تقع في منتصف المجموعة بعد ترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا، أي هو القيمة التي يكون نصف عدد القيم أصغر منها أو يساويها والنصف الآخر أكبر منها أو يساويها، من هذا التعريف للوسيط نجد أنه يعالج العيوب الثالثة التي يعاني منها الوسط الحسابي، فالوسيط لا يتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة، كما أنه يمكن حسابه في حالة الفئات المفتوحة، ويمكن إيجاده بيانيا.
خصائص الوسيط:
لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
يمكن حسابه بيانيا.
حساب الوسيط للبيانات الأولية
لحساب الوسيط من البيانات الأولية يجب أولا ترتيب البيانات ترتيبا تصاعديا أو تنازليا وهنا نميز حالتين:
الوسيط للبيانات غير المبوبة الفردية
إذا كان عدد القيم n فرديا فإن الوسيط هو القيمة التي ترتيبها n+1)/2)
مثال :
أوجد الوسيط للبيانات التالية:
8 | 6 | 3 | 10 | 12 | 15 | 9 |
الحل: نرتب القيم ترتيبا تصاعديا:
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 |
3 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 |
عدد القيم فردي ومنه فإن رتبة الوسيط هي4=n+1)/2)= (7+1)/2)
وبالتالي فإن قيمة الوسيط هي المفردة التي ترتيبها يقابل رتبة الوسيط وهي X4=9,
الوسيط للبيانات الأولية الزوجية
إذا كان دد القيم n زوجيا فرتبة الوسيط هيn/2 ,n/2+1 وبالتالي قيمة الوسيط تساوي المتوسط الحسابي لرتبة الوسيط.
مثال :
أوجد الوسيط للبيانات التالية:
16 | 6 | 8 | 10 | 3 | 1 | 13 | 7 |
الحل:
نقوم أولا بترتيب البيانات تصاعديا كما يلي:
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 |
1 | 3 | 6 | 7 | 8 | 10 | 13 | 16 |
عدد القيم n=8 عدد زوجي وعليه فرتبة الوسيط هي 4و5 وبالتالي قيمة الوسيط هي متوسط القيمتين المقابلتين لرتبة الوسيط أي:
الوسيط للبيانات المبوبة
لحساب الوسيط للحالات المبوبة نميز حالتين:
حالة متغير كمي منفصل
لحساب الوسيط من بيانات مبوبة في جدول توزيع تكراري -حالة متغير كمي منفصل- نتبع الخطوات التالية:
نقوم بحساب التكرار المتجمع الصاعد.
حدد رتبة الوسيط N/2 حيث N=Σni.
نبحث في العمود -السطر- الخاص بالتكرار المتجمع الصاعد عن القيمة التي تكرارها المتجمع الصاعد يساوي رتبة الوسيط N/2 أو أعلى منها مباشرة، لتكون التي تقابلها هي قيمة الوسيط.
مثال :
البيانات الاحصائية التالية تمثل توزيع عائلات حي معين حسب عدد الغرف
عدد الغرف Xi | 1 | 2 | 3 | 4 | Σ |
|---|---|---|---|---|---|
عدد العائلات ni | 5 | 10 | 20 | 30 | 65 |
المطلوب: إيجاد الوسيط لهذه البيانات.
الحل: لحساب الوسيط لهذه البيانات نتبع الخطوات التالية:
1- نقوم بحساب التكرار المتجمع الصاعد كما يلي:l
عدد الغرف Xi | عدد العائلات ni | تكرار مجمع صاعد NÎ |
|---|---|---|
1 | 5 | 5 |
2 | 10 | 15 |
3 | 20 | 35 |
4 | 30 | 65 |
Σ | 65 | - |
2- نحدد رتبة الوسيط N/2=65/2=32,5 حيث N=Σni.
3- نبحث في العمود -السطر- الخاص بالتكرار المتجمع الصاعد عن القيمة التي تكرارها المتجمع الصاعد يساوي رتبة الوسيط أو أعلى منها مباشرة- 35 أكبر مباشرة من 32,5. وعليه فإن قيمة الوسيط هي Median=3.
حالة متغير كمي متصل
لتحديد الوسيط لبيانات مبوبة في جدول توزيع تكراري بفئات -حالة متغير كمي متصل-، نتبع الخطوات التالية:
1- نقوم بحساب التكرار المتجمع الصاعد.
2- تحديد رتبة الوسيط N/2 حيث N=Σni
3- تحديد الفئة الوسيطية -فئة الوسيط- وهي الفئة التي تقابل التكرار المتجمع الصاعد الذي يساوي رتبة الوسيط أو أعلى منها مباشرة.
4- نطبق العلاقة التالية لحساب قيمة الوسيط:
حيث:
Me: الوسيط
Lo: الحد الأدنى للفئة الوسيطية
N: حجم العينة
ni: التكرار المطلق للفئة الوسيطية
: التكرار المتجمع الصاعد للفئة قبل الوسيطية
ai: طول الفئة الوسيطية
مثال :
يمثل الجدول التالي توزيع الأجر الشهري لعمال مؤسسة معينة الوحدة *1000دج
الأجر Xi | [20-10[ | [20 -30[ | [30 -40[ | [40 -50[ | [60-50[ | [60 -70[ |
|---|---|---|---|---|---|---|
عدد العمال ni | 18 | 30 | 25 | 17 | 12 | 8 |
المطلوب: إيجاد قيمة الأجر الوسيط.
الحل:
لتحديد قيمة الوسيط تنبع الخطوات التالية:
1- نقوم بحساب التكرار المتجمع الصاعد،
الأجر Xi | عدد العمال ni | تكرار مجمع صاعد NÎ |
|---|---|---|
[20-10[ | 18 | 18 |
[20 -30[ | 30 | 48 |
[30 -40[ | 25 | 73 |
[40 -50[ | 17 | 90 |
[60-50[ | 12 | 102 |
[60 -70[ | 8 | 110 |
Σ | 110 | - |
2- نحدد رتبة الوسيط N/2=110/2=50 حيث N=Σni=100
3- تحديد الفئة الوسيطية وهي الفئة التي تقابل التكرار المتجمع الصاعد الذي يساوي رتبة الوسيط أو أعلى منها مباشرة. 73 أكبر مباشرة من 55وعليه فإن الفئة الوسيطية هي 30-40
4- نحدد ونحسب الوسيط باستخدام العلاقة الاحصائية للوسيط:
حيث:
Me: الوسيط
Lo: الحد الأدنى للفئة الوسيطية
N: حجم العينة
ni: التكرار المطلق للفئة الوسيطية
: التكرار المتجمع الصاعد للفئة قبل الوسيطية
ai: طول الفئة الوسيطية
الطريقة البيانية لإيجاد الوسيط
يمكن تحديد قيمة الوسيط بيانيا بطريقتين:
تقاطع كل من منحنى التكرار الجمع الصاعد والنازل
الوسيط هو نقطة تقاطع كل من منحنى التكرار الجمع الصاعد والنازل
باستخدام واحد من المنحنيين الصاعد أو النازل فقط
2- كما يمكن تحديده باستخدام أحد المنحنيين الصاعد أو النازل فقط، وذلك باتباع الخطوات التالية:
- رسم منحنى التكرار المتجمع الصاعد أو النازل.
- تحديد رتبة الوسيط N/2 على محور التراتيب، ثم إسقاط أفقي للنقطة على منحنى التكرار المتجمع.
- إسقاط نقطة التقاطع مع المنحنى عموديا على محور الفواصل، لنحصل على قيمة الوسيط.
