Chapitre 1 : Fonctions réelles d'une variable réelle

Notions de fonction

Définition générale

Définition

On dit que est une fonction[1] réelle si est une application[2] définie sur un sous-ensemble de et à valeur dans un sous-ensemble de qui associe à tout élément de un unique élément de , appelé alors image de et noté , on écrit

L'ensemble est appelé ensemble de départ  et est l'ensemble d'arrivée .

Les éléments de qui ont une image par forment l'ensemble de définition de , noté .

Exemple

  1. La fonction   est définie pour tout   tel que . Donc .

  2. .

Graphe d'une fonction

Définition

On appelle graphe, ou courbe représentative, d'une fonction f définie sur un intervalle , l'ensemble des points du plan muni d'un repère orthonormé défini par

.

Fonctions bornées et monotones

Définition

Soit une fonction. On dit que :

  • est majorée sur si .

  • est minorée sur si .

  • est bornée sur si f est à la fois majorée et minorée sur , c'est-à-dire si .

Définition

Soit une fonction. On dit que :

Exemple

  1. La fonction cosinus est bornée .

  2. La fonction définie sur n'est pas monotone.

Parité et périodicité

Définition

Soit un intervalle de  symétrique par rapport à 0[5]. Soit une fonction. On dit que :

  1.   est paire si . Son graphe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

  2. est impaire si . Son graphe est alors symétrique par rapport à l'origine .

Exemple

  1. La fonction définie sur par est paire.

  2. La fonction définie sur par est impaire.

Définition

Soit une fonction et un nombre réel, . La fonction est dite périodique de période si .

Exemple

Les fonctions sin et cos sont . La fonction tangente est .

Composition de deux fonctions

Définition

Soient des sous-ensembles de et et deux fonctions.

Si l'espace d'arrivée de est inclus dans l'espace de départ de alors on définit la fonction composée par

.

Exemple

On considère les fonctions :

tel que et tel que

Alors

  • tel que

  • tel que

Bijectivité et fonction réciproque

Une fonction est dite bijective si pour tout point  possède un unique antécédent   par la fonction .

Autrement dit est bijective si et seulement si .

Exemple

La fonction n'est pas bijective car admet au moins deux antécédents dans son espace de départ: et .

La fonction est bijective car pour tout , il existe un unique dans l'espace de départ .

Définition

Si une fonction est bijective alors il existe une fonction appelée fonction réciproque de  donnée par

si et seulement si .

Proposition

Soient une fonction bijective et sa réciproque. Alors

et .

Exemple

Soit tel que est bijective. Sa fonction réciproque est .

Fonctions trigonométriques et leurs réciproques

1. Fonction sinus

Propriétés : La fonction sinus est continue et dérivable sur et vérifie les propriétés suivantes, pour tout  :

  • La fonction sinus est bijective  sur .

  • .

  • .

Fonction arcsinus :

On appelle fonction arcsinus, notée , la fonction réciproque de la fonction bijective  . C-à-d[6]

pour pour .

2. Fonction cosinus

Propriétés : La fonction cosinus est continue et dérivable sur et vérifie les propriétés suivantes, pour tout  :

  • La fonction cosinus est bijective  sur .

  • .

Fonction arc cosinus :

On appelle fonction arc cosinus, notée , la fonction réciproque de la fonction bijective  . C-à-d[6]

[6] pour pour .

3. Fonction tangente

 La fonction tangente, notée (ou ) définie par :

pour tout ou

est continue et dérivable sur .

Propriétés: pour tout , on a

  • La fonction tangente est bijective  sur

  • .

Fonction arc tangente :

On appelle fonction arc tangente, notée , la fonction réciproque de la fonction bijective  . C-à-d[6]

pour pour .

  1. Fonction

    Une fonction f de E vers F est la relation qui associe à chaque élément de E au plus un élément de F (tout élément a au plus une image).

  2. Application

    Une application f de E vers F est la relation qui associe à chaque élément de E un et seul élément de F (tout élément a  une image unique).

  3. Fonction strictement croissante

    Soit f une fonction définie sur D est dite strictement croissante sur D si ∀x, y ∈ D tel que x > y ⇒ f (x) > f (y).

  4. Fonction strictement décroissante

    Soit f une fonction définie sur D est dite strictement décroissante sur D si ∀x, y ∈ D, tel que x > y ⇒ f (x) < f (y).

  5. symétrique par rapport à 0

    Intervalle symétrique par rapport à 0, c'est à dire de la forme [−a, a] ou ] − a, a[ ou R.

  6. C-à-d : C'est-à-dire

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