Continuité d'une fonction
Définition :
Soient une fonction
et
est dite continue au point
si
.-
est continue sur
si elle est continue en tout point de
.
Exemple :
Les fonction sinus et cosinus sont continues sur tout
.Les fonctions polynômes sont continues sur tout
.
La continuité à droite et à gauche
Soit
une fonction définie sur un intervalle
La fonction
est dite continue à droite en
si
.La fonction
est dite continue à gauche en
si
.
Remarque :
La fonction
est continue en
si et seulement si
est continue à gauche et à droite du point
.
Exemple :
Soit la fonction
définie par
si
et
est continue sur
. Au point
, la fonction
est continue à droite , mais elle ne l'est pas à gauche car
et
.
Opérations sur les fonctions continues
Soient
et
deux fonctions définies sur
. Si
et
continues en un point
, alors
est continue en
, pour tout
est continue en
.
est continue en
.
(si
) est continue en
.
est continue en
.
Fondamental : Théorème des valeurs intermédiaires
Soient
et
une fonction de
dans
.
Si
-
est continue sur
.
.
Alors il existe
tel que
. (Autrement dit l'équation
admet au moins une solution dans
).
Exemple :
La fonction
admet une solution dans l'intervalle
. En effet,
-
est continue sur
car elle est polynôme.
.
Donc il existe
tel que
.
